CAMBIO DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o
cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Sea la integral arbitraria ∫f (x)dx , donde f (x ) es una función de variable real x . Puede ocurrir que la forma de la función sea tan compleja que dificulte enormemente el cálculo de la integral indefinida. Y esta dificultad, a veces, puede resolverse realizando un cambio de variable adecuado.
Supongamos que expresamos la variable x en función de una función g(t) que depende de la variable t . Si llevamos esta relación a la integral, tendremos:
x=g(t) → dx=g'(t)dt → Diferenciamos en función de x y en función de t . f (x)=f [ g(t)] ∫f (x)dx=∫f [g(t)]·g'(t)dt → Integral que depende de la variable t .
Si conseguimos resolver la integral en función de t , no debemos olvidar deshacer al final el cambio de variable realizado. Es decir: x=g(t) → g −1 (x)=t
En consecuencia, la función elegida para el cambio de variable debe admitir función inversa, para que podamos deshacer el cambio. Si tras realizar el cambio de variable en la integral, obtenemos una expresión que depende tanto de x como de t … significa que el cambio de variable no es válido... tendremos que proponer otro.
Pasos para integrar por cambio de variable:
1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
2Se sutituye la diferencial en la integral:
3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
4 Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral
1 Realizamos el cambio de variable
Calculamos la diferencial
2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando
3Resolvemos la nueva integral
4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos 
Así la solución buscada es:
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