OPTIMIZACION

 Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar el valor de una variable. En otras palabras, se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

La variable a minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.

En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:

¿Qué se busca en el problema?

¿Qué restricciones aparecen en el problema?

• La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada.

• La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable.

Estrategias para resolver problemas de optimización

1.      Asignar una representación algebraica a todas las magnitudes a determinar.

2.      Escribir una ecuación primaria que represente el problema de optimización.

3.   Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede exigir el uso de las ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.

4.      Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido.

5.      Determinar el valor máximo o mínimo mediante las técnicas dadas.

Ejemplo de uso de la Optimización en la resolución de un problema.

La optimización nos puede servir de maneras amplias, que permitirán la solución de un conflicto, de manera mas lógica y entendible, así como sustentada con la lógica y el algebra.

El proceso de optimización  hace parte de una de las aplicaciones más importante de la derivada. Para lo cual es útil tener a la mano las derivadas mas comunes y utilizadas. En lo siguiente presentaremos un camino para resolver problemas de optimización y haremos varios ejemplos.

• De las condiciones del problema extraer o plantear la función a maximizar o minimizar.
• En el caso de que en el problema intervengan más de una variable, plantear ecuaciones que relacionen las distintas variables del sistema.
• Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una función con una sola variable.
• Encontrar los extremos locales, esto  significa que debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación resultante.
• Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

CALCULO DE MAXIMOS Y MINIMOS

Si ya aprendimos a derivar funciones, ahora es momento de ver las diversas aplicaciones que podemos utilizar, y los máximos y mínimos.

Ahora vamos a utilizar las derivadas para resolver problemas de optimización. Frecuentemente nos encontramos con la necesidad de optimizar funciones para resolver problemas. Por ejemplo, para construir una granja rectangular utilizando el mínimo de cerca, necesitamos expresar el perímetro de la granja como una función y encontrar su mínimo. O igual, puede ser que tengamos una cantidad de cerca y deseemos construir la granja que tenga a mayor superficie. En ambos casos necesitamos optimizar (minimizar o maximizar) una cantidad en función de otra.

Un Máximo Local es un punto de la función donde ésta cambia de creciente a decreciente, es decir, aquellos puntos altos de la gráfica.

Un Mínimo Local es un punto de la función donde ésta cambia de decreciente a creciente, es decir, aquellos puntos bajos de la gráfica.

Para poder calcular el máximo y mínimo de una función tenemos que seguir los siguientes pasos.

 

Pasos para calcular el máximo y mínimo de una función

1. Se deriva la función y = f(x) y esta se iguala a cero.

1. Se buscan las raíces de la ecuación resultante , dichos valores se llaman valores críticos y son los que hacen que la tangente tenga pendiente cero (horizontal), pueda darnos un máximo o un mínimo.

1. Para saber si se trata de un máximo o mínimo, se toma un valor un poco menor al crítico y este se sustituye en la derivada, y se hace lo mismo para un valor mayor al crítico. Como resultado veremos lo siguiente; si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, el valor crítico en análisis es de un máximo, si cambia de negativo a positivo, se trata de un mínimo, y si no cambia en ningún sentido, entonces se trata de un punto de inflexión.