INTEGRACION DE POTENCIAS EN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

 

Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permitan obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

 

Integración por fracciones parciales

La integración por fracciones parciales es un método que permite integrar funciones racionales a partir de transformar la función original en una suma de fracciones más sencillas, esto con el fin de poder integrar dichas fracciones con procedimientos o métodos mas simples o directos.

La resolución se recomienda considerar los siguientes puntos:

• Cuando el denominador de la fracción es de primer grado y no se repite

• Cuando el denominador de la fracción es de primer grado y esta repetido:

• Cuando el denominador de la fracción es de segundo grado y no esta repetido.

• Cuando el denominador de la fracción es de segundo grado y esta repetido.

Ejemplo:

INTEGRACION POR PARTES

 

Método:

1.     El integrando debe ser un producto de dos factores (si no lo es, podemos transformarlo para que lo sea).

2.     Uno de los factores será u y el otro será dv.

3.     Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.

4.     Se aplica la formula.

Ejemplo:

CALCULO DE CAPAS CILINDRICAS

 

CAPAS CILINDRICAS

Si una región del plano se hace girar alrededor de un eje paralelo al eje y, de tal forma que se genera un sólido de revolución, que tiene como diferenciales de volumen capas cilíndricas con su eje en el eje de revolución.  Entonces el volumen del sólido esta dado por:

donde r es el radio de la capa cilíndrica en términos de la variable de integración y h es la altura de la capa cilíndrica expresada en términos de la variable de integración.

 

Sugerencias para calcular volúmenes por el método de capas cilíndricas

• ·         Haga un dibujo de la región que se va a rotar alrededor de un eje.
• ·         Dibuje el eje de rotación.  Si el eje de rotación es paralelo al eje “x”, la variable de integración es “y”.  Si el eje de rotación es paralelo al eje “y”, la variable de integración es “x”.
• ·         El radio de la capa cilíndrica se obtiene de la diferencia entre la variable independiente y la constante del eje de rotación (la mayor menos la menor)
• ·         La altura de la capa cilíndrica se obtiene de la diferencia de dos funciones expresadas en términos de la variable de integración (la mayor menos la menor)
• ·         Calcule la integral utilizando los mismos límites de integración que se utilizarían para calcular el área de la región que se va a rotar.

El cálculo de capas cilíndricas puede referirse a varias situaciones, pero generalmente implica encontrar el área superficial o el volumen de un cilindro o una parte de un cilindro. Aquí están las fórmulas básicas para calcular el área superficial y el volumen de diferentes tipos de capas cilíndricas:

1. Cilindro completo:

   • Área superficial: $2��ℎ+2�{�}^2$, donde $�$ es el radio de la base y $ℎ$ es la altura del cilindro.
   • Volumen: $�{�}^2ℎ$.

2. Capa de cilindro (parte del cilindro):

   • Área superficial: La fórmula depende de la forma específica de la capa. Por ejemplo, si la capa es un sector circular, puedes calcular el área superficial como el área de un sector circular más el área del círculo base.
   • Volumen: Similar al caso del cilindro completo, pero puedes necesitar ajustar la altura si la capa no es completa.

3. Capa anular (capa entre dos cilindros concéntricos):

   • Área superficial: $2��ℎ$, donde $�$ es el radio de la base del cilindro exterior y $ℎ$ es la altura de la capa anular.
   • Volumen: $�ℎ({�}^2-{�}^2)$, donde $�$ es el radio de la base del cilindro exterior y $�$ es el radio de la base del cilindro interior.

Recuerda que estas fórmulas son aplicables cuando los cilindros son perfectos y sus secciones son perpendiculares a sus ejes. Para casos más complicados o capas de formas irregulares, se pueden necesitar técnicas adicionales de cálculo, como la integración para encontrar el área superficial o el volumen.