MÉTODO DE DISCOS Y ARANDELAS

 

Método de Discos y arandelas.

Un sólido de revolución es una figura obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma. Empleando el cálculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo. Dentro de esta sección veremos algunos métodos para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

Método de Discos.

Este método consiste en hacer rotar la gráfica de nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la suma de discos. Para obtener el volumen de un disco se multiplica el área del círculo por la altura de este:

Método de Arandelas.

Se utiliza este método cuando se trata de calcular el volumen de un sólido de revolución con un agujero. Este tipo de sólidos aparecen cuando la región plana que gira y el eje de revolución no están juntos. Si se gira esta región alrededor del eje X entonces el volumen del solido resultante es:

CAMBIO DE VARIABLE

 

CAMBIO DE VARIABLE

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Sea la integral arbitraria ∫f (x)dx , donde f (x ) es una función de variable real x . Puede ocurrir que la forma de la función sea tan compleja que dificulte enormemente el cálculo de la integral indefinida. Y esta dificultad, a veces, puede resolverse realizando un cambio de variable adecuado.

 Supongamos que expresamos la variable x en función de una función g(t) que depende de la variable t . Si llevamos esta relación a la integral, tendremos:

 x=g(t) → dx=g'(t)dt → Diferenciamos en función de x y en función de t . f (x)=f [ g(t)] ∫f (x)dx=∫f [g(t)]·g'(t)dt → Integral que depende de la variable t . 

Si conseguimos resolver la integral en función de t , no debemos olvidar deshacer al final el cambio de variable realizado. Es decir: x=g(t) → g −1 (x)=t

 En consecuencia, la función elegida para el cambio de variable debe admitir función inversa, para que podamos deshacer el cambio. Si tras realizar el cambio de variable en la integral, obtenemos una expresión que depende tanto de x como de t … significa que el cambio de variable no es válido... tendremos que proponer otro. 

Pasos para integrar por cambio de variable:

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

 2Se sutituye la diferencial en la integral:

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

 

4 Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral

1 Realizamos el cambio de variable

Calculamos la diferencial

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

3Resolvemos la nueva integral

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos 

Así la solución buscada es:

INTEGRAL DEFINIDA

 INTEGRAL DEFINIDA

Es la evaluación de una integral entre los valores de un limite de un intervalo numérico, evaluados entre un limite superior B y un limite inferior A.

La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que f(x)$\mathrm{<br>}$ sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue.

La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz, a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, 

[a,b].

$.$

 Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que 

n→∞.

$.$

 En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración.

Llamamos a la función 

f(x)

$<br>$

el integrando, y la dx indica que 

f(x)

 es una función con respecto a x, que se denomina variable de integración. Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia, y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración:

Evaluación de integrales definidas

Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x.