DERIVADA

 

Las matemáticas tienen un estudio muy extenso para darle explicación de los sucesos que nos impactan dia a dia y predecir las acciones que beneficien, y evitar las que perjudiquen, es por ello que durante el trayecto de la humanidad han salido a la luz estudios matemáticos, encargados de conjugar los números y letras, para ser interpretados en la cotidianidad humana, es por ello que hoy te mostrare a una herramienta que permite reducir e interpretar.

 

Derivada:

La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía, es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente. Mediante el estudio de funciones y sus derivadas podríamos conocer:

·         El contagio de un virus en función del tiempo.

·         La variación del espacio en función del tiempo.

·         El crecimiento de población humana en función del tiempo.

·         El desgaste de un neumático en función del tiempo. 

·         El beneficio de una empresa en función del tiempo. 

·         La extinción de una especie animal en función del tiempo.

 

La derivada resulta fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana.Utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las funciones. Estudiaremos los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión. Veremos que las derivadas también sirven para resolver problemas de optimización, es decir, conseguir el valor óptimo de una función sujeta a ciertas condiciones.

Las matemáticas tienen su simbología para representar abstracciones que necesitan ser entendidas por la mente humana y la derivada no es la excepción.

La primera derivada de una función y = f(x), puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes:

La primera derivada de (y) con respecto a (x) se define como “El límite cuando ∆x tiende a cero del cociente ∆y / ∆x”, que en símbolos matemáticos se expresa como: y’ = ∆y / ∆x. También podemos decir que la primera derivada de (y) con respecto a (x), nos expresa qué tanto varía (y) ante una variación que tenga (x). ∆x y ∆y se refieren a esa variación.

 

Cuando h tiende a cero, es decir, empieza a disminuir su longitud, puedes ver que el punto Q empieza a aproximarse al punto P, y el cateto QR empieza a disminuir, hasta que Q se confunde con P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por lo tanto en ángulo α tiende a ser β. 

 

 

 

 

Geométricamente, la primera derivada de una función f(x) en un punto dado a es igual a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a. A partir de la interpretación geométrica de la derivada se puede deducir la regla general de la derivación, veamos como:

 

De la figura 10.1 observamos que la pendiente de la secante se define como:

 

ms = tanα.

 

Si h = ∆x, del triángulo QRP tenemos que ms = ∆y / ∆x. Del mismo proceso de desplazamiento del punto Q sobre la curva, aproximándose cada vez más al punto P, observamos como ∆x tiende a cero (disminuye), y la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente. Matemáticamente expresamos lo anterior así:

Generalizando la expresión (2) obtenemos la Regla general de la derivación:

 

En conclusión, La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Así como que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

 

La obtención de la derivada implica procesos de los cuales uno de ellos es la obtención de un factor común:

La factorización por término común está ligada a una de las propiedades de los números reales, llamada propiedad distributiva, esta propiedad dice que para cuales quiera a, b y c en los números reales, se cumple que ac + bc = c (a + b)

 

Y obtención del binomio, si así fuese requerido:

Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más.

El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.